Вопросы для подготовки к экзамену по геометрии

Экзаменационные вопросы и задачи по геометрии для подготовки к экзаменам

(9 класс зимняя сессия)

1 .Лемма о коллинеарных векторах

2. Теорема о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам

3. Координаты вектора

4. Координаты суммы векторов

5. Координаты разности векторов

6. Координаты произведения вектора на число

7. Радиус-вектор точки. Докажите, что координаты точки равны соответствующим координатам её радиус – вектора

8. Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца

9. Координаты середины отрезка

10. Докажите, что если два вектора коллинеарны, то координаты одного вектора пропорциональны координатам другого вектора

11. Вычисление длины вектора по его координатам

12. Вычисление расстояния межу двумя точками с заданными координатами

13. Докажите, что середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от его вершин (№952)

14. Докажите, что сумма квадратов всех сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей(№953)

15. Уравнение окружности.

16. Уравнение прямой

17. Синус, косинус и тангенс угла. Основное тригонометрическое тождество

18. Теорема о площади треугольника

19. Теорема синусов

20. Теорема косинусов

21. Докажите, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру окружности

22. Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними

23. Решение треугольника по стороне и двум прилежащим к ним углам

24. Решение треугольника по трём сторонам

25. Докажите, что середины сторон выпуклого четырёхугольника являются вершинами некоторого параллелограмма

26. Докажите, что в правильном шестиугольнике АВСДЕF диагональ АД в 2 раза больше стороны АВ

27. В окружности проведены хорды АВ , ВС, СД, причем АВ=ВС=СД. Докажите, что если отрезок АД является диаметром окружности, то отрезок АВ равен радиусу этой окружности

28. В параллелограмме АВСД биссектрисы углов АДС и ДАВ пересекаются в точке О. Докажите, что АОД = 90⁰ .

29. В прямоугольном треугольнике АВС из прямого угла В проведена высота ВД. Докажите, что ВД = .

30. Докажите, что в треугольнике существует единственная точка, равноудалённая от всех сторон.

31. Докажите, что если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то этот треугольник прямоугольный.

32. В окружности градусная мера дуги АВ равна 60⁰ . Докажите, что хорда АВ является стороной правильного n - угольника, вписанного в окружность, и её длина равна радиусу этой окружности.

33. Докажите, что трапецию можно вписать в окружность, если она равнобедренная.

34. Докажите, что отрезки касательных, проведённых из одной точки к заданной окружности, равны между собой.

35. В ромбе MNKT на сторонах отмечены четыре точки, делящие стороны в отношении

2 : 3 , считая от вершин М и К. Докажите, что отмеченные точки являются вершинами прямоугольника.

36. Докажите, что если в n – угольник можно вписать окружность, то его площадь равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности.

37. Докажите, что если в треугольнике центр описанной окружности совпадает с точкой пересечения медиан, то треугольник – правильный.

38. Две окружности пересекаются в точках А и В, МN- общая касательная к ним. Докажите, что прямая АВ делит отрезок МN пополам.

39. Две окружности касаются внешним образом в точке А. К ним проведена общая (внешняя) касательная, которая касается окружностей в точках С и Д. Докажите, что САД=90⁰ .

40. Продолжение хорды ДВ пересекает касательную к этой окружности в точке А,

С – точка касания. Докажите, что треугольники АДС и АВС подобны.

41. Продолжения хорд ВВ₁ и СС₁ пересекаются в точке А вне окружности ( точки В₁ и С₁ лежат на отрезках АВ и АС соответственно). Докажите, что треугольники АСВ₁ и АВС₁ подобны.

42. В параллелограмме АВСД точка М – середина стороны СД, К – середина стороны АВ. Известно, что КС = МВ. Докажите, что АВСД – прямоугольник.

43. В параллелограмме АВСД точка Е – середина стороны АВ. Известно, что ЕС = ЕД. Докажите, что данный параллелограмм – прямоугольник.

44. В равнобедренную трапецию, у которой одно основание в 4 раза меньше другого, вписана окружность. Докажите, что радиус этой окружности равен меньшему основанию.

45. Докажите. что если около параллелограмма можно описать окружность, то зтот параллелограмм – прямоугольник.

46. Докажите, что если около трапеции можно описать окружность, то зта трапеция равнобедренная.

47. В прямоугольном треугольнике АВС В = 90⁰ , МN – средняя линия N АС, MN ІІ АВ. Докажите, что отношение радиуса окружности, описанной около окружности MNC к радиусу окружности, описанной около треугольника ABN , равно соs .

48. В прямоугольном треугольнике АВС В = 90⁰ , МN – средняя линия N АС, MN ІІ АВ.

Докажите, что радиус окружности, вписанной в треугольник АВС, в 2 раза больше радиуса окружности, вписанной в треугольник MNC.

.